Álgebra elemental: conceptos básicos.
Se dice que el álgebra es la rama de la matemática que se encarga del estudio de las cantidades del modo más general posible.
Su estudio se justifica debido a que junto a la aritmética y la geometría constituye la base fundamental, sobre la cual se construye todo el conocimiento matemático.
Signos y símbolos del álgebra
Con la finalidad de lograr la generalización de las cantidades y el rigor matemático las cantidades se representan por medio de números y letras usadas para cantidades desconocidas llamadas incógnitas o variables en algunos casos (debido a que puede cambiar de valor).
Por acuerdo, los matemáticos han establecido como reglas no escritas, usar el alfabeto inglés para la notación matemática, donde las primeras catorce letras (desde la \(a\) hasta la \(n\)) son usadas para representar cantidades conocidas o constantes, la letra "o" es poco usada, debido a su parecido con el cero, y las últimas doce se usan para representar cantidades desconocidas (incognitas o variables).
A medida que se profundiza en el estudio del álgebra, el conocimientos sobre los símbolos algebraicos aumenta, a continuación, se presentan algunos de los símbolos algebraicos más usados comúnmente: $$\mathrm{símbolos}\left\{ \begin{array}1 \mathrm{operacionales}\left\{\begin{array}1\mathrm{adición}~ +\\\mathrm{sustracción}~ -\\\mathrm{división}~ \div\\\mathrm{potenciación}~ x^n\\\mathrm{radicación}~ \sqrt[n]{x}\\\end{array}\right.\\ \mathrm{relación}\left\{\begin{array}1\mathrm{igual~a}~=\\\mathrm{mayor~que}~>\\\mathrm{menor~que}~ < \\\mathrm{mayor~o~igual~que}~\geq\\\mathrm{menor~o~igual~que}~\leq\end{array}\right.\\ \mathrm{agrupación}\left\{\begin{array}1\mathrm{paréntesis}~(~)\\\mathrm{corchete}~[~]\\\mathrm{llaves}~\{~\}\\\end{array}\right.\\ \mathrm{pertenencia}\left\{\begin{array}1\mathrm{pertenece ~a}~\in\\\mathrm{subconjunto~de}~\subset\\\mathrm{super~conjunto~de}~\supset\\\mathrm{conjunto~vacío}~\emptyset\\\end{array}\right.\end{array}\right.$$ Note que no se ha escrito ningún símbolo para la multiplicación, esto es porque en álgebra no se considera ningún símbolo para esto, para escribir el producto de dos cantidades \(w\) y \(x\), se escriben las cantidades dentro de un signo de agrupación como \((w)(x)\) o simplemente \(wx\).
No se debe pensar que estos son los únicos símbolos usados en el álgebra, estos solo representan una pequeña muestra de la totalidad de símbolos que son usados en el estudio algebraico, por ejemplo, algunos de los símbolos anteriores pueden ser negados, de modo que su contraparte negada existe, así al decir que dos más tres es igual a cinco, se escribe \(2+3=5\) en cambio, si se dice que dos más tres no es igual a seis, se escribe \(2+3\neq6\), ya que al escribir el signo con el "eslá" este se lee de forma negada.
Elección del sentido y tipo de variables.
Por acuerdo, en cuanto al sentido positivo y negativo de las cantidades, se tiene que:
1. Una cantidad a la derecha o hacia arriba de un punto de referencia, se considera positiva y a la izquierda o hacia abajo es considerada negativa.
2. Lo que se tiene o se gana (haber) es positivo, mientras que las deudas o perdidas se consideran negativas.
Se debe tener en cuenta el tipo de variable de estudio, si la variable es continua admite valores fraccionarios, en cambio, si es discreta no admite valores fraccionarios. Sería una locura expresar que una persona tiene dos gatos y medio como mascota, o decir que un niño cumple menos tres años de vida, de modo que también se debe considerar si la variable admite o no valores negativos.
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Lenguaje algebraico.
Debido a la necesidad de la generalización de las cantidades, en álgebra es común utilizar un tipo de lenguaje propio, formado por uno o varios símbolos, llamado lenguaje algebraico. Así, si se desconoce la cantidad de naranjas que hay en una cesta, se dice que en la cesta hay \(x\) naranjas, donde la variable \(x\) representa la cantidad de naranjas en la cesta.
A continuación, se presentan algunos ejemplos de lenguaje algebraico, para esto se pueden utilizar las letras que desee, ya que en álgebra las letras son "mudas" (no importa la que se use).
1. Un número cualquiera \(\Longrightarrow n\) (o cualquier otra letra que desee distinta de \(e,i,o\)). Las letras \(e, i\) representan cantidades específicas y la letra \(o\) se confunde en la escritua con el cero.
2. Un número aumentado en cinco \(\Longrightarrow n+5\)
3. La suma de dos números \(\Longrightarrow n+x\)
4. La diferencia de dos números \(\Longrightarrow n-x\)
5. El producto de dos números \(\Longrightarrow nx\)
6. El duplo de un número \(\Longrightarrow2n\)
7. El triplo de un número \(\Longrightarrow3x\)
8. El cuádruplo de un número disminuido en cinco \(\Longrightarrow4n-5\)
9. El cociente de dos números \(\Longrightarrow n/d\)
10. El cuadrado de un número \(\Longrightarrow x^2\)
11. El cubo de un número \(\Longrightarrow x^3\)
12. Un número a una potencia cualquiera \(\Longrightarrow x^n\)
13. La raíz (cuadrada) de un número \(\Longrightarrow\sqrt x\)
14. La raíz cúbica de un número \(\Longrightarrow\sqrt[3]{x}\)
15. La raíz enésima (cualquiera) de un número \(\Longrightarrow\sqrt[n]{x}\)
16. La mitad de un número \(\Longrightarrow n/2\)
17. Un tercio de un número \(\Longrightarrow n/3\)
18. El cuadrado de la suma de dos números \(\Longrightarrow\left(u+v\right)^2\)
19. El cubo de la diferencia de dos números \(\Longrightarrow\left(u-v\right)^3\)
20. La semisuma de dos números: $$\frac{u+v}{2}$$
21. Tres números consecutivos \(\Longrightarrow n,\ n+1,\ n+2\)
22. Tres números pares consecutivos \(\Longrightarrow n,n+2,n+4\)
23. Tres números impares consecutivos \(\Longrightarrow n,n+2,n+4\)
24. Dos tercios de una cantidad aumentada en ocho:$$\frac23n+8$$
25. Tres quintos de la suma de dos números: $$ \frac35(x+w)$$
Reucerde que las posibles combinaciones en el lenguaje algebraico son infinitas, por tanto, esta es solo una pequeña muestra de como escribir del lenguaje ordinario al lenguaje algebraico.
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Expresiones algebraicas.
Se dice que una expresión algebraica es la combinación de números y/o letras, afectados de una o más operaciones.
Un término es una expresión algebraica de uno o varios símbolos, no separados entre sí por los signos de adición \(\left(+\right)\) o de sustracción \(\left(-\right)\).
Los elementos de un término son el signo, el coeficiente, la parte literal y el exponente.
Ejemplo de términos y sus elementos. $$\begin{array}{l l l l l l |l} {\rm Término} & \mathrm{Coeficiente} & \mathrm{Parte ~ literal}& \mathrm{Grado} \\ \hline -6x^3 & ~~~-6 &~~~~~~~ x & ~~~~~3\\ \hline 13w^2x^3 & ~~~~~13 & ~~~~~wx & ~~~~~5\\ \hline \sqrt3x^5 & ~~~~~\sqrt3& ~~~~~~~x & ~~~~~5\\ \hline -8y^7 & ~~~-8 & ~~~~~~y & ~~~~~7\\ \hline \end{array}$$
El coeficiente de un término es un número o letra que se antepone a la parte literal del término, para indicar cuantas veces se suma esta cantidad.
Por ejemplo, al escribir \(3x\), el coeficiente 3, expresa que \(x\) se suma tres veces \(\Longrightarrow3x=x+x+x.\) Al escribir \(nx\), se expresa que \(x\) se suma \(n\) veces.
Nota importante: Por acuerdo, cuando un término no tiene escrito ningún coeficiente numérico, el coeficiente es el número uno, de donde \(w=+1w~~~~-x=-1x\) y así sucesivamente.
Grado de un término.
El grado de un término puede ser absoluto o con relación a una letra.
Grado absoluto es la suma de los exponentes de los factores literales, mientras que el grado con relación a una letra es el exponente que tiene la letra en el término. Así para la expresión,
$$-6x^3y^2z\Longrightarrow \left\{\begin{array}p \mathrm{grado~absoluto}:~3+2+1=6\\\mathrm{grado~con~relación~a}:\left\{\begin{array}xx=3\\y=2\\z=1~~\end{array}\right.\end{array}\right.$$
Clasificación de los términos:
Según el signo los términos pueden ser positivos o negativos. Por acuerdo al comenzar a escribir, después de un signo de igual o después de abrir un signo de agrupación, no se escribe el signo de más.
Según el denominador, término entero es el que no tiene denominador literal, y término fraccionario es el que tiene denominador literal no simplificable.
Según tienen o no radicales, término racional es el que no tiene radicales irreducibles, y término irracional es el que tiene radicales irreducibles.
Según el grado, términos homogéneos son aquellos que tienen igual grado absoluto y términos heterogéneos son los que tienen distinto grado absoluto.
Ejemplo. Determine el grado absoluto y clasifique los siguientes términos
\(~~~~~~~~~~~~1.~-\frac{5w^6}{3}\) \(~~~~~~~~~~~~2.~\frac{\sqrt5w^6}{3x}\)
según el signo, el denominador y si tiene o no radical irreducible.
$$\mathrm{término}\left\{\begin{array}{l}-\frac{5w^6}{3}\left\{\begin{array}{l}~\mathrm{negativo~de~grado}~6\\\mathrm{~entero}\\\mathrm{~racional}\end{array}\right.\\\frac{\sqrt3w^6}{3x}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{~positivo~de~grado~5:}~\frac{\sqrt3w^6}{3x}=\frac{\sqrt3w^6x^{-1}}{3}\\\mathrm{fraccionario}\\\mathrm{irraciona~ya ~que}~\sqrt3\in\mathbb{Q}^\prime\end{array}\right.\end{array}\right.$$
Términos semejantes.
Al trabajar en ciencia o al realizar el inventario de una institución o negocio se trabaja con términos semejantes, por ejemplo, si le pide contar todos los utensilios de la cocina de su casa ¿puede contar los platos como si fueran vasos? Si su respuesta ha sido no, ya entiende el concepto de términos semejantes, los platos van con los platos, tenedores con tenedores y así sucesivamente, aún más puede que existan platos de distintos tipos y tengan que clasificarse de otra manera.
En ciencia no se puede sumar una longitud (metro) con un tiempo (segundo), o una masa (kilogramo) con una temperatura (Kelvin), la razón a esto es porque son magnitudes distintas, no son semejantes.
Términos semejantes son aquellos que tienen iguales variables (letras) afectadas de los mismos exponentes, esto es igual letra, igual exponente por ejemplo.
\(12xy\) es semejante con \(-14xy\) (los coeficientes no importan).
\(20x^2\) es semejante con \(36x^2\)
\(5b^3\) es semejante con \(-2b^3\)
\(7wx^2\) no es semejante con \(7w^2x\) debido a que, aunque tienen las mismas letras, éstas no tienen las mismas potencias (los exponentes si importan).
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